【C++之二叉搜索树】

C++学习笔记---019

C++之二叉搜索树
- 1、二叉搜索树的简单介绍
- 2、二叉搜索树的基本操作
- - 2.1、二叉搜索树的查找
  - 2.2、二叉搜索树的插入
  - 2.3、二叉搜索树的删除
- 3、搜索二叉树的应用
- - 3.1、查找匹配
  - 3.2、查找比较大小
- 4、搜索二叉树的模拟实现
- 5、搜索二叉树的性能分析

C++之二叉搜索树

前言：
前面篇章学习了C++对于继承和多态的认知和了解，接下来继续学习，C++的二叉搜索树等知识。
/知识点汇总/

1、二叉搜索树的简单介绍

二叉搜索树概念 ：

二叉搜索树又称二叉查找树或二叉排序树，是一种特殊的二叉树结构，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树。
它的主要特点是，对于任何节点来说，其左子树上所有节点的值都小于该节点的值，而右子树上所有节点的值都大于该节点的值。同时，它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

2、二叉搜索树的基本操作

二叉搜索树的主要操作包括插入、查找、删除等，这些操作的效率与树的高度直接相关。由于二叉搜索树的特殊性质，它在进行有序数据的查找、插入、删除等操作时具有较高的效率。具体来说，对于每个节点的查找过程可以根据节点值与目标值的大小关系，迅速地缩小搜索范围，平均查找时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。

2.1、二叉搜索树的查找

二叉搜索树的查找

a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return cur;
}

2.2、二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：
a.树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
b.树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

bool Insert(const K& key, const V& value)
{
	//判空
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key, value);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(key, value);
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

2.3、二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：
a.要删除的结点无孩子结点
b.要删除的结点只有左孩子结点
c.要删除的结点只有右孩子结点
d.要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程如下：
情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点–直接删除
情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点–直接删除
情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题–替换法删除

//删除
//替换法，找一个节点的去替换要删除的节点
//左子树的最大节点或者右子树的最小节点
//替换了再删除该节点
bool Erase(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//删除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				//坑点1：没有父亲节点,即自己是根节点的处理
				//if(parent == nullptr)
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					//如果左为空，父亲指向我的右
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					//如果右为空，父亲指向我的左
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;
			}
			else//左右都不为空 -- 替换法(左孩子的最大节点，右孩子的最小节点)
			{
				Node* rightMin = cur->_right;
				//Node* rightMinParent =nullptr;
				Node* rightMinParent = cur;
				while (rightMin->_left)
				{
					rightMinParent = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;
				}

				swap(cur->_key, rightMin->_key);
				//坑点1：特殊情况的处理
				if (rightMinParent->_left == rightMin)
					rightMinParent->_left = rightMin->_right;
				else
					rightMinParent->_right = rightMin->_right;
				delete rightMin;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3、搜索二叉树的应用

3.1、查找匹配

K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树，在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。

比如：英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

3.2、查找比较大小

#include "BinarySearchTree.h"
using namespace key_value;

//<word, chinese>就构成一种键值对
//键值匹配
void test_BSTree2()
{
	BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("string", "字符串");
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("insert", "插入");
	string str;
	while (cin >> str)
	{
		BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无搜索对象" << endl;
		}
	}
}

//<word, count>就构成一种键值对
//统计单词次数
void test_BSTree3()
{
	// 统计水果出现的次数
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
   "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	BSTree<string, int> countTree;
	for (const auto& str : arr)
	{
		// 先查找水果在不在搜索树中
		// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
		// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++
		//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret == NULL)
		{
			countTree.Insert(str, 1);
		}
		else
		{
			ret->_value++;
		}
	}
	countTree.InOrder();
}
int main()
{
	//test_BSTree2();
	test_BSTree3();
	return 0;
}

4、搜索二叉树的模拟实现

namespace key_value
{
	template<class K,class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K,V>* _left;
		BSTreeNode<K,V>* _right;
		K _key;
		V _value;

		BSTreeNode(const K& key,const V& value)
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			,_value(value)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K,V> Node;
	public:
		bool Insert(const K& key,const V& value)
		{
			//判空
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key,value);
				return true;
			}
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(key,value);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}
		//中序遍历
		//套一层间接的实现缺省参数
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
		}
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return cur;
		}
		//删除
		//替换法，找一个节点的去替换要删除的节点
		//左子树的最大节点或者右子树的最小节点
		//替换了再删除该节点
		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//坑点1：没有父亲节点,即自己是根节点的处理
						//if(parent == nullptr)
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							//如果左为空，父亲指向我的右
							if (cur == parent->_left)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							//如果右为空，父亲指向我的左
							if (cur == parent->_left)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else//左右都不为空 -- 替换法(左孩子的最大节点，右孩子的最小节点)
					{
						Node* rightMin = cur->_right;
						//Node* rightMinParent =nullptr;
						Node* rightMinParent = cur;
						while (rightMin->_left)
						{
							rightMinParent = rightMin;
							rightMin = rightMin->_left;
						}

						swap(cur->_key, rightMin->_key);
						//坑点1：特殊情况的处理
						if (rightMinParent->_left == rightMin)
							rightMinParent->_left = rightMin->_right;
						else
							rightMinParent->_right = rightMin->_right;
						delete rightMin;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << "：" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

5、搜索二叉树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
时间复杂度：接近有序的数据，性能低下，效率低
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： $log_2 N$
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： $\frac{ N }{2}$